如何理解洛必达法则?

洛必达先生因为洛必达法则而不朽。
17世纪的贵族子弟洛必达曾经说过:人这辈子一共会死三次。
  • 第一次是你的心脏停止跳动:那么从生物的角度来说,你死了。
  • 第二次是在葬礼上:认识你的人都来祭奠,那么你在社会上的地位就死了。
  • 第三次是在最后一个记得你的人死后:那你就真的死了。
为了知行合一,洛必达从数学家伯努利手中重金买下了一个知识产权,伯努利收获了金钱,也付出了后悔。
这次交易的内容就是我们今天要讲的,以洛必达的名字命名的洛必达法则

1 洛必达法则

洛必达法则(l'Hôpital's rule)是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)所发现的,因此也被叫作伯努利法则(Bernoulli's rule)。

维基百科

不严格的说,洛必达法则就是在$0/0$型和$\infty /\infty $型时,有${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$。
可见,洛必达法则最犀利的是大大简化了极限运算。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。
这篇文章我们主要回答一下两个问题:
  • 为什么洛必达法则对于$0/0$型和$\infty /\infty $型生效?
  • 洛必达法则对于别的类型是否生效?

1.1 构造关键函数

我们令$u(x)=(g(x),f(x))$,为了阅读顺畅,这个函数我要多解释下。
对于一般我们接触的函数,比如$f(x)=2x, x\in R$,根据函数定义,这是一个$R\to R$的映射:
而$u(x)=(g(x),f(x))$是一个$R\to R^2$的映射:
$u(x)=(g(x),f(x))$可以如下表示:
做出$A$点的割线:
割线的极限即是切线,大家可以感受一下:
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所以可以得出切线的斜率即导数为:
通过坐标轴的原点$O(0,0)$连接$B$点,马同学把这个连线称为原点线:
通过构造关键函数$u(x)$我们得到两个的结论:
  • $u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$
  • 原点线斜率为$\frac{f(x)}{g(x)}$
根据洛必达法则:${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$。可见,构造关键函数之后,我们已经有了$\frac{f'(x)}{g'(x)}$和$\frac{f(x)}{g(x)}$,剩下的就是看这两者什么时候极限相等了?

1.2 $0/0$型

我们让$u(x)$曲线可以经过$O(0,0)$点:
分别做出割线和原点线:
容易观察到,$A$点越靠近原点,割线和原点线越接近:
可以动手试试:
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$A$点和$O$点重合时,割线就是原点线:
$A$点和$O$点重合时,割线斜率就是原点线斜率,即$\frac{f(x)}{g(x)}$。 根据割线的极限即切线,有$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=u'(a)$,根据之前的结论有$u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$,所以$\displaystyle u'(a)=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$,所以有${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$,即洛必达法则。
需要说明一点:
可见,洛必达法则对$0/0$型可以生效。

1.3 $\infty /\infty $型

在欧式几何中,两条线的斜率要相等,只有两种情况,重合或者平行。
这就是$\infty /\infty $型为什么适用于洛必达法则的原因,我们来一起推导一下。
首先$u(x)$要换一下,必须得有$(\infty ,\infty )$点:
画出割线和原点线:
当$A \to \infty $时,割线和原点线趋向于平行:
顺便说一下,这里比较诡异的地方是,割线和原点线一直交于$A$点,但是当$A \to \infty $时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点,至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。
你也可以动手试试
Created with GeoGebra
同样说明一下,$A \to \infty $意味着是$\infty /\infty $型。
根据$0/0$型的推论的思路,洛必达法则对于$\infty /\infty $型也生效。

1.4 结论

所以洛必达法则生效的原因是:
  • $0/0$型:割线和原点线重合
  • $\infty /\infty $型:割线和原点线平行

2 扩展洛必达法则
这里就是要回答洛必达法则对于别的类型是否生效的问题。

2.1 洛必达法则总是有效的函数

令$g(x)=2x$,$f(x)=4x$,可以用两种办法求极限:
  • 约分:$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4x}{2x}}=2$
  • 洛必达法则:$\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4}{2}=2}$
根据第二种解法,意味着这两个函数总是适用洛必达法则。
我们构造$u(x)=(g(x),f(x))=(2x,4x)$,画出图像:

2.2 洛必达法则的扩展

所以,只要原点线和割线斜率相等,就可以运用洛必达法则,对洛必达法则的扩展让我们把它称为马同学法则吧:)
不过就实际应用来说,还是$0/0$型和$\infty /\infty $型最实用,但是好歹让马同学发明了一个马同学法则,希望可以像洛必达法则一样名垂千古。

3 最后
我想,洛必达先生真的是因为这场交易不朽了。
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