如何通俗地理解曲率？
同学们大家好，今天我们来学习曲率。
通俗的讲，曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线，可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平，曲率最小，最下面的最弯，曲率最大。
上面用的是自然语言，那么用数学语言定义，曲率又该如何定义呢？假设用
在定义一般曲线的曲率之前，我们首先定义的是圆的曲率。圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小。
这是符合观察的,可以看到，随着圆越大，曲线越来越平，曲率越小，圆越小，曲线越弯，曲率越大
也就是说，对于圆而言，曲率与半径成反比,此时
根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆，曲率为1/1,半径为2的圆，曲率为1/2,半径为3的圆，曲率为1/3。
现在，我们手上有了圆的曲率定义公式,下面，我们要根据它，定义出一般曲线的曲率。
可以看到，对于一般曲线而言，各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯，有些位置比较平。
那么，我们要计算某一处的曲率，就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。
然后将左右两个点不断向中间靠拢，最终得到的圆，称为密切圆。密切圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。
可以观察到，在曲线较为平坦的地方，密切圆半径较大,较为弯曲的地方，密切圆半径较小。
这个事实告诉我们，可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率
现在只要计算出密切圆的半径，就能计算出曲线的曲率。下面开始计算
首先假设中间的点为
这个
其中
下面将三条边分别用向量
那么三条边的边长，就是这三个向量取模长。
根据行列式的几何意义可知，由
那么取绝对值后，得到的是平行四边形的面积，三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。
因此
设曲线函数为
那么三个向量分别为
将此带入上式，就能得到
三角形的边长分别为，
又由于三角形的面积
综合上述两个条件可以得到：
好，有了上面的知识后继续往下。如图，
为了方便计算，将三个点标注为向量：
这三个点组成三角形
在图上标示下：
下面行列式：
表示的是如下平行四边形的有向面积：
有向面积是有正负号的，所以平行四边形的面积需要加上绝对值：
而
至此可以得到：
上下同除以
下面让左右两边的点向中间靠,设
则
分别求各项的极限。首先：
然后：
同理：
最后还有：
所以可得：
它的倒数，就是曲率
